11414. На отрезке AC
взята точка B
. Точки M
и N
выбраны так, что AM=MB
, BN=NC
и MN\parallel AC
. Пусть r
, r_{1}
и r_{2}
(r_{1}\lt r_{2}
) — радиусы окружностей, вписанных в треугольники MBN
, AMB
и BNC
соответственно. Докажите, что r_{1}\lt r\lt r_{2}
.
Решение. Пусть p
, p_{1}
и p_{2}
— полупериметры, S
, S_{1}
и S_{2}
— площади, а ME=BK=NF
— высоты треугольников MBN
, AMB
и BNC
соответственно. Тогда
p=\frac{1}{2}(MN+MB+NB)=\frac{1}{2}((MK+KN)+MB+NB)=
=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}(AM+MB)+\frac{1}{2}(BN+NC)\right)=
=\frac{1}{4}(AB+BC+AM+MB+BN+NC)=
=\frac{1}{4}((AB+AM+MB)+(BC+BN+NC))=
=\frac{1}{4}\cdot2p_{1}+\frac{1}{4}\cdot2p_{2}=\frac{1}{2}(p_{1}+p_{2}),
а также
S=\frac{1}{2}MN\cdot BK=\frac{1}{2}(MK+KN)\cdot BK=\frac{1}{2}MK\cdot BK+\frac{1}{2}KN\cdot BK=
=\frac{1}{2}BE\cdot ME+\frac{1}{2}BF\cdot NF=\frac{1}{2}S_{1}+\frac{1}{2}S_{2}=\frac{1}{2}(S_{1}+S_{2}).
Значит,
r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{1}{2}(S_{1}+S_{2})}{\frac{1}{2}(p_{1}+p_{2})}=\frac{S_{1}+S_{2}}{p_{1}+p_{2}}.
При этом по условию
\frac{S_{1}}{p_{1}}=r_{1}\lt r_{2}=\frac{S_{2}}{p_{2}}
Следовательно,
r_{1}\lt r\lt r_{2}~\Leftrightarrow~\frac{S_{1}}{p_{1}}\lt\frac{S_{1}+S_{2}}{p_{1}+p_{2}}\lt\frac{S_{2}}{p_{2}}.
(Действительно,
\frac{S_{1}}{p_{1}}\lt\frac{S_{1}+S_{2}}{p_{1}+p_{2}}~\Leftrightarrow~S_{1}p_{1}+S_{1}p_{2}\lt S_{1}p_{1}+S_{2}p_{1}~\Leftrightarrow~\frac{S_{1}}{p_{1}}\lt\frac{S_{2}}{p_{2}}~\Leftrightarrow~r_{1}\lt r_{2}.
Аналогично, \frac{S_{1}+S_{2}}{p_{1}+p_{2}}\lt\frac{S_{2}}{p_{2}}
.)
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Математика. Районные олимпиады. — М.: Просвещение, 2010. — 2003, № 295, с. 77, 10 класс, задача 5