11416. На боковой стороне BC
равнобедренного треугольника ABC
(AB=BC
) выбрана такая точка D
, что CD=CA
. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник ABC
, совпадает с центром окружности, описанной около треугольника ADC
.
Решение. Пусть O
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Тогда точка O
лежит на биссектрисе угла ABC
, а так как треугольник ABC
равнобедренный, то эта биссектриса лежит на серединном перпендикуляре к основанию AC
. Точка O
также лежит на биссектрисе угла ACB
, т. е. на биссектрисе равнобедренного треугольника ACD
, а значит, на серединном перпендикуляре к его основанию AD
. Таким образом, O
— точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам AC
и AD
треугольника ADC
. Следовательно, O
— центр описанной окружности этого треугольника.