11417. В неравнобедренном остроугольном треугольнике ABC
проведена высота BD
. На продолжении BD
за точку B
выбрана такая точка K
, что \angle CAK=\angle BCA
. Докажите, что окружность, проходящая через точку B
и касающаяся прямой AC
в точке C
, пересекает BD
в ортоцентре (точке пересечения высот) треугольника AKC
.
Решение. Пусть окружность вторично пересекает прямую BD
в точке H
, а прямые CH
и AK
пересекаются в точке N
. Обозначим \angle CAK=\angle BCA=\gamma
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle ACN=\angle DCH=\frac{1}{2}\smile CH=\angle CBH=\angle CBD=90^{\circ}-\gamma.
Значит,
\angle ANC=180^{\circ}-\angle CAN-\angle ACN=180^{\circ}-\gamma-(90^{\circ}-\gamma)=90^{\circ},
т. е. CN
— высота треугольника AKC
(как и KD
). Следовательно, H
— ортоцентр этого треугольника.