11419. Точка O
лежит внутри выпуклого четырёхугольника ABCD
площади S
, причём OA^{2}+OB^{2}+OC^{2}+OD^{2}=2S
. Докажите, что ABCD
— квадрат.
Решение. Обозначим OA=a
, OB=b
, OC=c
, OD=d
, \angle AOB=\alpha
, \angle BOC=\beta
, \angle CPD=\gamma
, \angle DOA=\delta
. Тогда
a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=2S,
S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}ab\sin\alpha\leqslant\frac{1}{2}ab.
Аналогично,
S_{\triangle BOC}\leqslant\frac{1}{2}bc,~S_{\triangle COD}\leqslant\frac{1}{2}cd,~S_{\triangle DOA}\leqslant\frac{1}{2}da,
причём равенства достигаются тогда и только тогда, когда
\alpha=\beta=\gamma=\delta=90^{\circ}.
Из равенства
(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-d)^{2}+(d-a)^{2}\geqslant0
следует, что
a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geqslant ab+bc+cd+da,
поэтому
2S=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geqslant ab+bc+cd+da\geqslant
\geqslant\frac{a^{2}+b^{2}}{2}+\frac{b^{2}+c^{2}}{2}+\frac{b^{2}+c^{2}}{2}+\frac{d^{2}+a^{2}}{2}=
=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=2S,
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда a=b=c=d
. Значит,
2S=2(S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC}+S_{\triangle COD}+S_{\triangle DOA})\leqslant
\leqslant ab+bc+cd+da\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=2S.
Следовательно, равенство
2S=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}
выполняется тогда и только тогда, когда
\alpha=\beta=\gamma=\delta=90^{\circ}~\mbox{и}~a=b=c=d,
т.е, когда ABCD
— квадрат. Что и требовалось доказать.
Источник: Британская математическая олимпиада. — 1982
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1985, № 4 задача 1 (1982, с. 134), с. 108