1142. Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Указание. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведённых к двум сторонам треугольника, равноудалена от всех вершин треугольника, поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к третьей стороне.
Решение. Серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудалённых от концов этого отрезка.
Проведём серединные перпендикуляры к сторонам AB
и AC
треугольника ABC
. Они пересекаются, так как, если бы они были параллельны, то перпендикулярные им прямые AB
и AC
также были бы параллельны, что невозможно.
Пусть O
— точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам AB
и AC
. Тогда по свойству серединного перпендикуляра к отрезку OA=OB
и OA=OC
, поэтому OB=OC
. Значит, точка O
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC
, т. е. серединный перпендикуляр к стороне BC
также проходит через точку O
.
Поскольку точка O
равноудалена от всех вершин треугольника ABC
, она является центром описанной около треугольника окружности.
Примечание. Из доказанного также следует, что около любого треугольника можно описать окружность, притом только одну.