11423. Пусть AC
— наибольшая сторона треугольника ABC
. На стороне AC
выбраны такие точки M
и N
, что AM=AB
и CN=CB
. Докажите, что если BM=BN
, то треугольник ABC
равнобедренный.
Решение. Треугольник ABM
равнобедренный с основанием BM
. Обозначим \angle ABM=\angle AMB=\beta
. Треугольник MBN
равнобедренный с основанием MN
, поэтому
\angle MNB=\angle NMB=\angle AMB=\beta,
а так как треугольник BCN
также равнобедренный, то
\angle CBN=\angle CNB=\angle MNB=\beta.
Тогда
\angle ABN=\angle ABM-\angle MBN=\beta-\angle MBN=\angle CBN-\angle MBN=\angle CBM.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle BAC=\angle BNM-\angle ABN=\angle BMN-\angle CBM=\angle ABC.
Следовательно, треугольник ABC
равнобедренный.
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Математика. Районные олимпиады. — М.: Просвещение, 2010. — 2007, № 402, с. 92, 8 класс, задача 2