11424. Пусть AC
— наибольшая сторона треугольника ABC
, I
— центр вписанной в него окружности. На стороне AC
выбраны такие точки M
и N
, что AM=AB
и CN=CB
. Докажите, что треугольник MIN
равнобедренный.
Решение. Первый способ. Треугольник ABM
равнобедренный с основанием BM
, поэтому его биссектриса, проведённая из вершины A
, перпендикулярна основанию BM
и делит его пополам, т. е. прямая AI
— серединный перпендикуляр к стороне BM
треугольника MBN
. Аналогично, прямая CI
— серединный перпендикуляр к стороне BN
треугольника MBN
. Значит, точка I
пересечения этих серединных перпендикуляров — центр описанной окружности треугольника MBN
. Следовательно, IM=IN
как радиусы этой окружности. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть вписанная окружность касается сторон AB
, BC
и AC
треугольника ABC
в точках P
, Q
и R
соответственно. Тогда
AP=AR,~MR=AM-AR=AB-AP=BP.
Аналогично, NR=BQ
, а так как BP=BQ
, то NR=MR
, т. е. R
— середина стороны MN
треугольника ABC
. Значит, высота IR
треугольника MIN
является его медианой. Следовательно, треугольник MIN
равнобедренный.