11425. Дан вписанный пятиугольник ABCDE
с параллельными сторонами AE
и BC
. Пусть K
— точка пересечения прямых BC
и DE
. Докажите, что DK\cdot DA=DC\cdot DB
.
Указание. Докажите подобие треугольников CDK
и ADB
.
Решение. Четырёхугольник ACDE
вписанный, углы CAE
и ACB
равны как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей, а углы ADB
и ACB
равны как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу, поэтому
\angle CDK=180^{\circ}-\angle CDE=\angle CAE=\angle ACB=\angle ADB.
Четырёхугольник BCDE
также вписанный, поэтому
\angle DCK=180^{\circ}-\angle BCD=\angle BED=\angle BAD.
Значит, треугольники CDK
и ADB
подобны по двум углам. Следовательно, \frac{DK}{DC}=\frac{DB}{DA}
, или DK\cdot DA=DC\cdot DB
. Что и требовалось доказать.