11426. Окружность, проходящая через вершины B
, C
и D
трапеции ABCD
(AD\parallel BC
), пересекает сторону AB
в точке M
, отличной от B
. На стороне CD
взята такая точка K
, что BK\parallel DM
. Докажите, что четырёхугольник ABKD
можно вписать в окружность.
Решение. Обозначим \angle ABK=\alpha
. Тогда из параллельности BK
и MD
получаем, что
\angle BMD=180^{\circ}-\alpha,
а так как четырёхугольник BCDM
вписанный, то
\angle BCD=180^{\circ}-\angle BMD=180^{\circ}-(180^{\circ}-\alpha)=\alpha.
Из параллельности BC
и AD
получаем, что
\angle ADK=\angle ADC=180^{\circ}-\angle BCD=180^{\circ}-\alpha.
Таким образом,
\angle ABK+\angle ADK=\alpha+(180^{\circ}-\alpha)=180^{\circ}.
Следовательно, четырёхугольник ABKD
можно вписать в окружность.