1143. Докажите, что около любого треугольника можно описать окружность, притом единственную.
Указание. Центр окружности, описанной около треугольника должен лежать на серединном перпендикуляре к каждой стороне треугольника.
Решение. Докажем сначала, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Проведём серединные перпендикуляры к сторонам AB
и AC
треугольника ABC
. Они пересекаются, так как, если бы они были параллельны, то перпендикулярные им прямые AB
и AC
также были бы параллельны, что невозможно.
Пусть O
— точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам AB
и AC
. Тогда по свойству серединного перпендикуляра к отрезку OA=OB
и OA=OC
, поэтому OB=OC
. Значит, точка O
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC
, т. е. серединный перпендикуляр к стороне BC
также проходит через точку O
.
Поскольку точка O
равноудалена от всех вершин треугольника ABC
, она является центром описанной около треугольника окружности.
Если бы существовала ещё одна такая окружность, то её центр должен был бы лежать на серединном перпендикуляре к каждой стороне треугольника, т. е. совпал бы с точкой O
.