11430. Дан прямоугольный треугольник ABC
с катетами AC=3
и BC=4
. Построим треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
, последовательно переместив точку A
на некоторое расстояние параллельно отрезку BC
(точка A_{1}
), затем точку B
— параллельно отрезку A_{1}C
(точка B_{1}
), и, наконец, точку C
— параллельно отрезку A_{1}B_{1}
(точка C_{1}
). Чему равна длина отрезка B_{1}C_{1}
, если оказалось, что угол A_{1}B_{1}C_{1}
прямой и A_{1}B_{1}=1
.
Ответ. 12.
Указание. Площадь треугольника не изменится, если одну из вершин сместить параллельно противоположной стороне.
Решение. Точка A_{1}
лежит на прямой, параллельной стороне BC
треугольника ABC
, значит, S_{\triangle A_{1}BC}=S_{\triangle ABC}
. Аналогично,
S_{\triangle A_{1}B_{1}C}=S_{\triangle A_{1}BC},~S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=S_{\triangle A_{1}B_{1}C}.
Значит,
S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot4=6,
а так как треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
прямоугольный с катетами B_{1}C_{1}
и A_{1}B_{1}=1
, то
S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=\frac{1}{2}A_{1}B_{1}\cdot B_{1}C_{1}=\frac{1}{2}B_{1}C_{1}=6.
Следовательно, B_{1}C_{1}=12
.
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Математика. Районные олимпиады. — М.: Просвещение, 2010. — 1995, № 53, с. 50, 10 класс, задача 3