11432. На сторонах AB
, BC
, CD
, DA
единичного квадрата ABCD
взяты соответственно точки K
, L
, M
и N
так, что AK+LC+CM+NA=2
. Докажите, что отрезки KM
и LN
перпендикулярны.
Указание. Через точки C
и D
проведите прямые, параллельные соответственно KM
и LN
.
Решение. Обозначим
AK=x,~LC=y,~CM=z,~NA=t.
Через точки C
и D
проведём прямые, параллельные соответственно KM
и LN
. Пусть эти прямые пересекают стороны AB
и BC
в точках P
и Q
соответственно. Тогда
PK=CM=z,~QL=DN=1-t,
поэтому
BP=1-x-z,~CQ=y-(1-t)=y-1+t,
а так как x+y+z+t=2
, то 1-x-z=y-1+t
, значит, BP=CQ
. Тогда прямоугольные треугольники BCQ
и CQD
равны по двум катетам.
Обозначим \angle BCP=\angle CDQ=\alpha
. Пусть отрезки KM
и LN
пересекаются в точке O
. Тогда
\angle COQ=180^{\circ}-\angle OCQ-\angle PQC=180^{\circ}-\alpha-(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}.
Следовательно, KM\perp LN
.