11437. В треугольнике ABC
биссектрисы углов A
и B
пересекают описанную окружность в точках K
и L
соответственно. Отрезки AK
и BL
пересекаются в точке X
и делятся этой точкой в равных отношениях, считая от вершин треугольника. Докажите, что треугольник ABC
равнобедренный.
Решение. Из равенства отношений \frac{AX}{XK}=\frac{BX}{XL}
и равенства вертикальных углов AXB
и KXL
следует подобие треугольников AXB
и KXL
. Учитывая равенство вписанных углов AKL
и ABL
, опирающихся на одну и ту же дугу, получим, что
\angle BAK=\angle BAX=\angle XKL=\angle AKL=\angle ABL=\angle ABX=\angle ABL.
Значит,
\angle CAB=2\angle BAK=2\angle ABL=\angle ABC.
Следовательно, треугольник ABC
равнобедренный, AC=BC
.