11438. (Из украинских олимпиад.) Внутри треугольника ABC
выбрана такая точка P
, что BC=AP
и \angle APC+\angle ABC=180^{\circ}
. На стороне AB
выбрана такая точка K
, что AK=KB+PC
. Докажите, что CK\perp AB
.
Решение. На продолжении стороны AB
за точку B
отложим отрезок BQ=CP
. Тогда
\angle CBQ=180^{\circ}-\angle ABC=\angle APC,
а так как BC=AP
и BQ=CP
, то треугольники BCQ
и PAC
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, CQ=AC
, т. е. треугольник ACQ
равнобедренный.
Кроме того,
AK=KB+PC=KB+BQ=KQ,
т. е. CK
— медиана равнобедренного треугольника ACQ
с основанием AQ
. Следовательно, CK
— высота этого треугольника. Следовательно, CK\perp AB
.