11442. Биссектрисы AD
, BE
и CF
треугольника ABC
пересекаются в точке I
. Докажите, что если \frac{AI}{ID}=\frac{BI}{IE}=\frac{CI}{IF}
, то треугольник ABC
равносторонний.
Решение. Пусть P
, Q
и R
— проекции точки I
на стороны BC
, AC
и AB
. Поскольку I
— точка пересечения биссектрис треугольника, IP=IQ=IR
.
Пусть AG
, BH
и CM
— высоты треугольника ABC
. Тогда из подобия прямоугольных треугольников AGD
, IPD
и BHE
, IQE
, учитывая, что IP=IQ
, получаем
\frac{AG}{IP}=\frac{AD}{ID}=\frac{BE}{IE}=\frac{BH}{IQ}~\Rightarrow~AG=BH.
Аналогично, AG=CM
. Значит, все три высоты треугольника ABC
равны. Следовательно, треугольник ABC
равносторонний (см. задачу 1136).