11443. В треугольнике ABC
угол B
равен 120^{\circ}
, точка M
— середина стороны AC
. На лучах AB
и CB
отмечены точки K
и L
соответственно так, что AK=CL
и \angle KML=120^{\circ}
. Докажите, что KL=AM
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда
\angle MCL=\angle ACB=180^{\circ}-120^{\circ}-\alpha=60^{\circ}-\alpha.
Построим равносторонний треугольник ATM
(точки T
и B
в одной полуплоскости относительно прямой AC
. Тогда
\angle TAK=60^{\circ}-\alpha=\angle MCL,
поэтому треугольники TAK
и MCL
равны по двум сторонам и углу между ними. Это означает, что TK=ML
. Кроме того,
\angle TKM=360^{\circ}-\angle TKA-\angle AKM=360^{\circ}-(\angle MLC+\angle AKM).
Но
\angle MLC+\angle AKM=(180^{\circ}-\angle BLM)+(180^{\circ}-\angle MKB)=
=360^{\circ}-(\angle BLM+\angle MKB)=360^{\circ}-(360^{\circ}-2\cdot120^{\circ})=240^{\circ},
поэтому
\angle TKM=360^{\circ}-240^{\circ}=120^{\circ}.
Тогда треугольники TKM
и LMK
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, LK=TM=AM
.