11454. На стороне AB
неравнобедренного треугольника ABC
выбраны точки P
и Q
так, что AC=AP
и BC=BQ
. Серединный перпендикуляр к отрезку PQ
пересекает биссектрису угла C
в точке R
(внутри треугольника). Докажите, что \angle ACB+\angle PRQ=180^{\circ}
.
Решение. Отметим на биссектрисе угла C
точку I
— точку пересечения биссектрис треугольника ABC
. Тогда AC=AP
и \angle CAI=\angle PAI
, поэтому треугольники ACI
и API
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
IP=IC~\mbox{и}~\angle API=\angle ACI=\frac{1}{2}\angle ACB.
Аналогично доказывается, что IQ=IC
. Значит, IP=IQ
и точка I
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку PQ
. Но тогда она совпадает с точкой R
, поскольку является точкой пересечения тех же прямых. Тогда
\angle PRQ=\angle PIQ=180^{\circ}-2\angle API=180^{\circ}-\angle ACB.
Следовательно,
\angle ACB+\angle PRQ=180^{\circ}.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2015, второй тур, 9 класс