11457. Точки A
и P
лежат вне прямой l
. Рассматриваются всевозможные прямоугольные треугольники ABC
с гипотенузой, лежащей на l
. Докажите, что окружности, описанные около треугольников PBC
, имеют общую точку, отличную от P
.
Решение. Опустим из точки A
перпендикуляр на прямую l
. Пусть H
— основание этого перпендикуляра. Зафиксируем какой-нибудь треугольник ABC
и обозначим через R
вторую точку пересечения прямой PH
с описанной окружностью треугольника PBC
. Тогда степень точки H
относительно этой окружности равна BH\cdot HC=PH\cdot HR
. Кроме того, AH^{2}=BH\cdot HC
по свойству высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла. Тогда HR=\frac{BH\cdot HC}{PH}=\frac{AH^{2}}{PH}
. Следовательно, длина отрезка HR
не зависит от выбора треугольника.
Заметим к тому же, что точка H
всегда лежит на отрезке BC
, т. е. внутри описанной окружности треугольника PBC
, а значит, точки R
и P
всегда будут лежать в разных полуплоскостях относительно прямой l
. Таким образом, описанная окружность любого треугольника PBC
должна пересекать прямую PH
в точке, удалённой от P
на расстояние \frac{AH^{2}}{PH}
, и лежащей на заданном луче этой прямой. Очевидно, что такая точка определяется однозначно, поэтому все описанные окружности через неё и проходят.