11459. В треугольнике ABC
проведена медиана AD
. Точка E
на отрезке AC
такова, что \angle ADB=\angle CDE
. Докажите, что периметр треугольника ADC
больше периметра четырёхугольника ABDE
.
Решение. Первый способ. Отметим на отрезке AD
такую точку E'
, что DE'=DE
. Заметим, что тогда треугольники BDE'
и CDE
равны по двум сторонам и углу между ними, значит, BE'=CE
. Нам нужно проверить, что периметр треугольника ADC
больше периметра четырёхугольника ABDE
, т. е. что
AE'+E'D+DC+AE+EC\gt BD+AB+AE+ED.
Уберём из обеих частей общий отрезок AE
, равные отрезки DC=BD
, E'D=ED
, и заменим в левой части EC
на E'B
, получим неравенство
AE'+E'B\gt AB.
Это неравенство треугольника для треугольника AE'B
.
Второй способ. Построим треугольник DA'C
, симметричный треугольнику DAB
относительно серединного перпендикуляра к отрезку BC
. Тогда точка E
лежит на отрезке A'D
и
AD=A'D=A'E+ED,~AB=A'C.
Уберём из периметров треугольника ADC
и четырёхугольника ABDE
равные отрезки BD=DC
. Тогда нам остаётся доказать неравенство
AB+AE+ED\lt AD+AC=AD+AE+EC.
Уберём общий отрезок AE
и воспользуемся написанными выше равенствами. Получим
AC'+ED\lt A'E+ED+EC.
Убрав из обеих частей отрезок ED
, получаем неравенство
A'C\lt A'E+EC,
а это неравенство треугольника для треугольника A'EC
.