11460. На боковых сторонах AB
и CD
трапеции ABCD
выбраны точки X
и Z
соответственно. Отрезки CX
и BZ
пересекаются в точке Y
. Оказалось, что пятиугольник AXYZD
вписанный. Докажите, что AY=DY
.
Решение. Заметим, что
\angle BXZ=180^{\circ}-\angle AXZ=\angle ADZ=180^{\circ}-\angle BCZ,
значит, около четырёхугольника XBCZ
тоже можно описать окружность. Вписанные в неё углы BXC
и BZC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Тогда равны и смежные с ними углы AXY
и DZY
, вписанные в окружность, проходящую через вершины пятиугольника AXYZD
. Следовательно, равны хорды AY
и DY
, на которые эти углы опираются.