11462. На сторонах AB
и AC
треугольника ABC
выбраны точки D
и E
соответственно, так что AD=AE
. Докажите, что из отрезков BE
, CD
и BC
можно составить треугольник.
Решение. Достаточно проверить выполнение трёх неравенств треугольника. Пусть F
— точка пересечения отрезков BE
и CD
. Очевидно,
BE+DC\gt BF+FE\gt BC.
Поскольку AE=AD
, то
BE+BC\gt CD~\Leftrightarrow~AE+BE+BC\gt AD+CD.
Значит, достаточно доказать последнее неравенство.
Поскольку
AE+BE\gt AB,~BD+DC\gt CD~\mbox{и}~AB=AD+DB,
то
AE+BE+BC=(AE+BE)+BC\gt AB+BC=(AD+DB)+BC=
=AD+(DB+BC)\gt AD+CD.
Что и требовалось доказать.
Аналогично, CD+BC\gt BE
.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2016, второй тур, 7 класс