11463. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
. Известно, что \angle A=45^{\circ}
, \angle ADC=\angle ACD=75^{\circ}
, AB=CD=1
. Найдите BC
.
Ответ. 1.
Решение. Первый способ. В равнобедренном треугольнике ACD
два угла равны по 75^{\circ}
, поэтому третий угол, т. е. угол DAC
, равен 30^{\circ}
. Следовательно,
\angle BAC=45^{\circ}-30^{\circ}=15^{\circ}.
Опустим перпендикуляры DX
и BY
на AC
. Тогда
\angle XDC=90^{\circ}-\angle XDC=15^{\circ}.
Значит, прямоугольные треугольники DXC
и BYA
равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, AY=DX
. В прямоугольном треугольнике ADX
угол DAX
равен 30^{\circ}
, поэтому AD=2DX=2AY
, а так как треугольник ACD
равнобедренный, то AC=AD=2AY
, т. е. Y
— середина AC
. Таким образом, высота BY
треугольника ABC
является его медианой. Следовательно, BC=AB=1
.
Второй способ. Построим на стороне CD
правильный треугольник CDE
внутрь четырёхугольника. Тогда точки A
и E
лежат на серединном перпендикуляре к стороне CD
, следовательно, AE
— биссектриса угла CAD
, т. е.
\angle EAC=15^{\circ}=75^{\circ}-60^{\circ}=\angle ACE.
Тогда треугольник AEC
равнобедренный и AE=EC=CD=AB
, и значит, точка E
симметрична точке B
относительно диагонали AC
. Следовательно,
BC=CE=AE=AB=1.
Автор: Солынин А. А.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2016, второй тур, 7 класс