11464. На стороне CD
параллелограмма ABCD
выбраны точки E_{1}
и E_{2}
так, что AB=BE_{1}=BE_{2}
. На луче AE_{1}
выбрана точка F_{1}
так, что BE_{1}\parallel CF_{1}
, а на луче AE_{2}
выбрана точка F_{2}
так, что BE_{2}\parallel CF_{2}
. Докажите, что DF_{1}=DF_{2}
.
Решение. Достаточно проверить, что DF_{1}=BC
. Тогда аналогично DF_{2}=BC
и задача решена.
Первый способ. Стороны треугольника E_{1}CF_{1}
соответственно параллельны сторонам равнобедренного треугольника ABE_{1}
. Значит, треугольник E_{1}CF_{1}
тоже равнобедренный и E_{1}C=F_{1}C
. Заметим, что тогда треугольники BCE_{1}
и DF_{1}C
равны. Действительно, они имеют равные пары сторон E_{1}C=F_{1}C
и BE_{1}=AB=DC
, и равные (в силу параллельности BE_{1}
и CF_{1}
) углы \angle BE_{1}C=\angle DCF_{1}
. Из равенства треугольников следует, что DF_{1}=BC
.
Второй способ. Как и в предыдущем способе убеждаемся, что треугольник E_{1}CF_{1}
равнобедренный. Тогда проекция отрезка BC
на прямую AE_{1}
состоит из половины отрезка AE_{1}
и половины отрезка E_{1}F_{1}
, т. е. эта проекция составляет половину отрезка AF_{1}
. Отрезки BC
и AD
равны и параллельны, их проекции на прямую AE_{1}
одинаковы. Тогда проекция AD
тоже равна половине AF_{1}
, значит, проекция DF_{1}
равна второй половине AF_{1}
. Следовательно, DF_{1}=AD=BC
.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2016, второй тур, 8 класс