11467. В неравнобедренном треугольнике ABC
угол B
равен 130^{\circ}
. Точка H
— основание высоты из вершины B
. На сторонах AB
и BC
нашлись точки D
и E
соответственно, такие что DH=EH
и четырёхугольник ADEC
вписанный. Найдите угол DHE
.
Ответ. 100^{\circ}
.
Решение. Заметим, что треугольники ABC
и EBD
подобны по двум углам, так как
\angle BED=180^{\circ}-\angle DEC=\angle BAC.
Пусть O
— центр окружности, описанной около треугольника BDE
, и пусть \angle BAC=\angle BED=\alpha
. Тогда \angle DOB=2\alpha
как центральный угол, соответствующий вписанному углу BED
, и
\angle ODB=\angle OBD=90^{\circ}-\alpha.
С другой стороны,
\angle ABH=90^{\circ}-\alpha,
поэтому точка O
лежит на прямой BH
. Кроме этого, она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку DE
. Однако точка H
также лежит на прямой BH
и на серединном перпендикуляре к DE
, так как HD=HE
. Но две прямые пересекаются лишь в одной точке! (Эти прямые не совпадают, так как иначе серединный перпендикуляр к DE
содержал бы точку B
, и тогда треугольник BDE
, а с ним и ABC
, были бы равнобедренными.) Следовательно, точки O
и H
совпадают. Итак, DHE
— центральный угол в окружности, описанной около треугольника BDE
. Центральный угол, дополняющий его до 360^{\circ}
, равен 2\cdot\angle B=260^{\circ}
, поэтому \angle DHE=100^{\circ}
.
Автор: Ширяев Д.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2016, второй тур, 9 класс