1147. Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и сумме катетов.
Указание. Предположим, что искомый прямоугольный треугольник ABC
построен. Пусть \angle C=90^{\circ}
, \angle A=\alpha
— данный угол, AC+CB=a
— данная сумма катетов. На продолжении катета AC
за точку C
отложите отрезок CB_{1}
, равный CB
.
Решение. Предположим, что искомый прямоугольный треугольник ABC
построен. Пусть \angle C=90^{\circ}
, \angle A=\alpha
— данный угол, AC+CB=a
— данная сумма катетов. На продолжении катета AC
за точку C
отложим отрезок CB_{1}
, равный CB
. Тогда
AB_{1}=AC+CB_{1}=AC+BC=a,~\angle AB_{1}B=45^{\circ},
а точка C
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BB_{1}
.
Отсюда вытекает следующее построение. Треугольник ABB_{1}
строим по стороне AB_{1}=a
и двум прилежащим к ней углам:
\angle A=\alpha,~\angle B_{1}=45^{\circ}.
Проводим серединный перпендикуляр к стороне BB_{1}
. Он пересекает прямую AB_{1}
в искомой вершине C
.