11471. В треугольнике ABC
известно, что \angle B=2\angle C
. На луче BA
выбрана точка D
так, что AC=BD
. Докажите, что AB+BC\gt CD
.
Решение. Отложим на биссектрисе угла B
отрезок BK
, равный BC
. Тогда треугольники ACB
и DBK
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AB=DK
. Пусть \angle ACB=\alpha
. Тогда
\angle ACB+\angle CBA=3\alpha
— это сумма двух углов треугольника ABC
, она меньше 180^{\circ}
. Значит, \alpha\lt60^{\circ}
. Тогда угол \angle KBC=\alpha
— наименьший угол в равнобедренном треугольнике BKC
, поэтому BC\gt CK
. Следовательно,
AB+BC=DK+BC\gt DK+KC\gt DC