11473. Продолжение биссектрисы BL
треугольника ABC
пересекает его описанную окружность в точке K
. Биссектриса внешнего угла при вершине B
пересекает продолжение отрезка CA
за точку A
в точке N
. Докажите, что если BK=BN
, то отрезок LN
равен диаметру описанной окружности треугольника.
Решение. Обозначим \angle BLN=\varphi
, \angle ABK=\angle CBK=\alpha
. Вписанные углы ACK
и ABK
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Кроме того, BLN
— внешний угол треугольника BCL
. Значит,
\angle BCK=\angle BCA+\angle ACK=(\angle BLN-\angle CBK)+\angle ABK=(\varphi-\alpha)+\alpha=\varphi.
Пусть радиус окружности равен R
. По теореме синусов 2R=\frac{BK}{\sin\varphi}
.
Заметим, что \angle LBN=90^{\circ}
как угол между биссектрисами смежных углов. Тогда
BK=BN=BL\tg\varphi,~NL=\frac{BN}{\cos\angle BLN}=\frac{BN}{\cos\varphi}.
Тогда
\frac{BK}{\sin\varphi}=\frac{BL}{\cos\varphi},~\mbox{или}~2R=NL.
Что и требовалось доказать.