11476. Дан остроугольный треугольник ABC
. На отрезке AC
и на продолжении стороны BC
за точку C
выбираются такие переменные точки X
и Y
соответственно, что \angle ABX+\angle CXY=90^{\circ}
. Точка T
— проекция точки B
на прямую XY
. Докажите, что все такие точки T
лежат на одной прямой.
Решение. Пусть точка H
основание высоты, опущенной из точки B
на сторону AC
. Достроим прямоугольный треугольник AHB
до прямоугольника AHBK
. Покажем, что все точки T
лежат на прямой KH
. Для этого возьмём на ней точку T'
и проведём через T'
прямую перпендикулярно BT'
. Пусть она пересекает сторону AC
в точке X
, а продолжение стороны BC
в точке Y'
. Если мы докажем, что \angle ABX+\angle CXY'=90^{\circ}
, то, поскольку точка Y
однозначно определяется точкой X
, получится, что Y
и Y'
совпадают, и значит, соответствующая им точка T
совпадает с точкой T'
, в частности, лежит на прямой KH
.
Поскольку из точек T'
и H
отрезок BX
виден под прямым углом, четырёхугольник BXHT'
(если точка X
лежит на отрезке CH
) или четырёхугольник BHXT'
(если точка X
лежит на отрезке AH
) является вписанным. Тогда
\angle CXY'=\angle T'XA=\angle T'BH~\mbox{и}~\angle T'HB=\angle T'XB.
Кроме того \angle T'HB=\angle ABH
, поскольку это углы между диагоналями прямоугольника и стороной BH
. Осталось заметить, что
\angle ABX+\angle CXY'=\angle ABX+\angle T'BH=\angle T'BX+\angle ABH=
=\angle T'BX+\angle T'HB=\angle T'BX+\angle T'XB=90^{\circ}.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2017, второй тур, 9 класс