11478. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
. Прямая, перпендикулярная BD
, пересекает отрезки AB
, BC
и лучи DA
, DC
в точках P
, Q
, R
, S
соответственно. Известно, что PR=QS
. Докажите, что середина отрезка PQ
равноудалена от точек A
и C
.
Указание. Рассмотрите точку, симметричную точке A
относительно середины отрезка PQ
.
Решение. Обозначим через T
общую середину отрезков PQ
и RS
. Пусть точка A'
симметрична точке A
относительно точки T
. Треугольники SA'Q
и RAP
симметричны и, следовательно, равны. Тогда
\angle SA'Q=\angle RAP=180^{\circ}-\angle BAD=\angle QCD,
значит, точка A'
лежит на описанной окружности треугольника CQS
. Проверим, что угол A'CA
прямой. Действительно, заметим, что
\angle A'CQ=\angle A'SQ=\angle PRA,~\angle BCA=\angle BDA.
Складывая эти равенства, получаем, что
\angle A'CA=\angle A'CQ+\angle BCA=\angle PRA+\angle BDA=90^{\circ}.
В прямоугольном треугольнике AA'C
медиана CT
равна половине гипотенузы AA'
, следовательно, CT=AT
. Что и требовалось доказать.