11480. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты BD
и CE
. Точка, симметричная точке E
относительно прямой BD
, лежит на описанной окружности треугольника ABC
. Найдите отношение AD:CD
.
Ответ. AD:CD=3:1
.
Решение. Обозначим точку, симметричную E
относительно BD
, через E'
. Пусть C'
— точка, симметричная вершине C
относительно высоты BD
. В силу симметрии
\angle BEC'=\angle BE'C=180^{\circ}-\angle A.
Значит, \angle AEC'=\angle A
. Таким образом, треугольник AEC'
равнобедренный, AC'=EC'
. Кроме того,
\angle CEC'=90^{\circ}-\angle A=\angle ECC',
т. е. треугольник CEC'
также равнобедренный, CC'=EC'
. Итак, AC'=C'C
, т. е. C'
— середина стороны AC
, а так как D
— середина CC'
, то AD=3CD
.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2019, первый тур, 9 класс