11482. Точки X
и Y
— середины меньших дуг AB
и BC
описанной окружности треугольника ABC
. BL
— биссектриса этого треугольника. Оказалось, что \angle ABC=2\angle ACB
и \angle XLY=90^{\circ}
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. \angle B=90^{\circ}
, \angle A=\angle C=45^{\circ}
.
Решение. По условию
\angle C=\frac{1}{2}\angle B=\angle LBC,
т. е. треугольник BLC
равнобедренный, BL=CL
. Кроме этого, BY=YC
, так как Y
— середина дуги BC
. Треугольники BLY
и CLY
равны по трём сторонам, поэтому LY
— биссектриса угла BLC
. По условию, прямая LX
перпендикулярна этой биссектрисе, поэтому LX
— биссектриса угла BLA
.
Рассмотрим треугольники XAL
и XBL
. У них есть общая сторона LX
, равны стороны AX=BX
, а также равны углы ALX
и BLX
. К сожалению, эти углы находятся не между равными сторонами, поэтому первый признак равенства не применим. Однако это означает, что углы XAL
и XBL
либо равны, либо дополняют друг друга до 180^{\circ}
, см. задачу 10280. (Проще всего объяснить это с помощью теоремы синусов в треугольниках XAL
и XBL
: \sin\angle XAL=\sin\angle XBL
.) Во втором случае четырёхугольник AXBL
оказался бы вписанным, чего не может быть, так как точка L
не лежит на окружности, проходящей через точки A
, B
и X
. Следовательно, треугольники XAL
и XBL
всё же равны и AL=BL
.
Итак, AL=BL=CL
, т. е. медиана треугольника ABC
равна половине стороны AC
. Это значит, что треугольник прямоугольный. А поскольку медиана BL
совпадает с биссектрисой, он ещё и равнобедренный.