11482. Точки
X
и
Y
— середины меньших дуг
AB
и
BC
описанной окружности треугольника
ABC
.
BL
— биссектриса этого треугольника. Оказалось, что
\angle ABC=2\angle ACB
и
\angle XLY=90^{\circ}
. Найдите углы треугольника
ABC
.
Ответ.
\angle B=90^{\circ}
,
\angle A=\angle C=45^{\circ}
.
Решение. По условию
\angle C=\frac{1}{2}\angle B=\angle LBC,

т. е. треугольник
BLC
равнобедренный,
BL=CL
. Кроме этого,
BY=YC
, так как
Y
— середина дуги
BC
. Треугольники
BLY
и
CLY
равны по трём сторонам, поэтому
LY
— биссектриса угла
BLC
. По условию, прямая
LX
перпендикулярна этой биссектрисе, поэтому
LX
— биссектриса угла
BLA
.
Рассмотрим треугольники
XAL
и
XBL
. У них есть общая сторона
LX
, равны стороны
AX=BX
, а также равны углы
ALX
и
BLX
. К сожалению, эти углы находятся не между равными сторонами, поэтому первый признак равенства не применим. Однако это означает, что углы
XAL
и
XBL
либо равны, либо дополняют друг друга до
180^{\circ}
, см. задачу 10280. (Проще всего объяснить это с помощью теоремы синусов в треугольниках
XAL
и
XBL
:
\sin\angle XAL=\sin\angle XBL
.) Во втором случае четырёхугольник
AXBL
оказался бы вписанным, чего не может быть, так как точка
L
не лежит на окружности, проходящей через точки
A
,
B
и
X
. Следовательно, треугольники
XAL
и
XBL
всё же равны и
AL=BL
.
Итак,
AL=BL=CL
, т. е. медиана треугольника
ABC
равна половине стороны
AC
. Это значит, что треугольник прямоугольный. А поскольку медиана
BL
совпадает с биссектрисой, он ещё и равнобедренный.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2019, первый тур, 11 класс