11484. Докажите, что расстояние между серединой стороны BC
треугольника ABC
и серединой дуги ABC
его описанной окружности не меньше, чем \frac{1}{2}AB
.
Решение. Рассмотрим точку B'
, симметричную вершине B
относительно серединного перпендикуляра к отрезку AC
. Тогда ABB'C
— равнобедренная трапеция, вписанная в ту же окружность. Пусть P
и Q
— середины дуги ABC
и стороны BC
соответственно, а R
— середина отрезка BB'
. Заметим, что PRQ\gt90^{\circ}
, так как \angle PRB=90^{\circ}
. Значит, PQ\gt RQ
. С другой стороны,
RQ=\frac{1}{2}B'C=\frac{1}{2}BC.
Следовательно, PQ\gt\frac{1}{2}BC
. Что и требовалось доказать.