11485. Биссектрисы BB_{1}
и CC_{1}
остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке I
. На продолжениях отрезков BB_{1}
и CC_{1}
отмечены точки B'
и C'
соответственно так, что четырёхугольник AB'IC'
— параллелограмм. Докажите, что если \angle BAC=60^{\circ}
, то прямая B'C'
проходит через точку пересечения описанных окружностей треугольников BC_{1}B'
и CB_{1}C'
.
Решение. Заметим, что
\angle B'IC'=\angle BIC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC=120^{\circ}
(см. задачу 4770), поэтому сумма углов IB'C'
и IC'B'
равна 60^{\circ}
.
Отметим на отрезке B'C'
такую точку P
, что
\angle PAB_{1}=\angle IB'C'~\mbox{и}~\angle PAC_{1}=\angle IC'B'.
Из этих двух равенств следует, что четырёхугольники PC_{1}C'A
и PB_{1}B'A
вписанные.
Учитывая, что B'I\parallel AC'
получим, что
\angle PC_{1}A=\angle PC'A=\angle PB'I.
Это означает, что четырёхугольник BC_{1}PB'
вписанный. Аналогично, для четырёхугольника CB_{1}PC'
. Следовательно, указанные в условии окружности пересекаются именно в точке P
.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2019, второй тур, 9 класс