11486. В треугольнике ABC
с прямым углом при вершине C
точки A_{0}
, B_{0}
, C_{0}
— середины сторон BC
, CA
, AB
соответственно. На отрезках AB_{0}
и BA_{0}
во внешнюю сторону построены как на основаниях равносторонние треугольники с вершинами C_{1}
и C_{2}
. Найдите угол C_{0}C_{1}C_{2}
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Поскольку
C_{0}B_{0}=A_{0}B=A_{0}C_{2},~C_{0}A_{0}=AB_{0}=B_{0}C_{1}~\mbox{и}~\angle C_{0}A_{0}C_{2}=\angle C_{0}B_{0}C_{1}=150^{\circ},
треугольники C_{0}A_{0}C_{2}
и C_{1}B_{0}C_{0}
равны, поэтому
C_{0}C_{1}=C_{0}C_{2}~\mbox{и}~\angle C_{1}C_{0}C_{2}=\angle A_{0}C_{0}B_{0}+\angle B_{0}C_{0}C_{1}+\angle A_{0}C_{0}C_{2}=120^{\circ}.
Следовательно,
\angle C_{0}C_{1}C_{2}=\angle C_{0}C_{2}C_{1}=30^{\circ}.
Автор: Швецов Д. В.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2020, XVI, заочный тур, 8 класс, задача 1