11487. Четырёхугольник ABCD
вписанный. Окружность, проходящая через точки A
и B
, пересекает диагонали AC
и BD
в точках E
и F
соответственно. Пусть прямые AF
и BC
пересекаются в точке P
, а прямые BE
и AD
— в точке Q
. Докажите,что PQ\parallel CD
.
Решение. Из вписанности четырёхугольников ABCD
и ABEF
получаем, что
\angle CBD=\angle CAD~\mbox{и}~\angle EBF=\angle EAF.
Значит, \angle PBQ=\angle PAQ
, т. е. четырёхугольник ABPQ
тоже вписанный. Следовательно,
\angle CPD=\angle BAQ=\angle BAD=180^{\circ}-\angle BCD=180^{\circ}-\angle PCQ.
(Или так: прямые CD
и PQ
параллельны, так как обе они антипараллельны AB
относительно прямых AP
и BQ
.)
Автор: Акопян А. В.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2020, XVI, заочный тур, 8 класс, задача 2