11488. Дан прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом C
. Вне треугольника взята такая точка D
, что \angle ADC=\angle BAC
и отрезок CD
пересекает гипотенузу AB
в точке E
. Известно, что расстояние от точки E
до катета AC
равно радиусу описанной окружности треугольника ADE
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. \angle A=\angle B=45^{\circ}
.
Решение. Пусть радиус описанной окружности треугольника ADE
равен R
, а \angle ADC=\angle BAC=\alpha
. По теореме синусов R=\frac{AE}{2\sin\alpha}
.
С другой стороны, расстояние от точки E
до катета AC
равно AE\sin\alpha
. Тогда из условия задачи следует, что \frac{AE}{2\sin\alpha}=AE\sin\alpha
, или 2\sin^{2}\alpha=1
. Отсюда находим, что \alpha=45^{\circ}
.
Автор: Москвитин Н. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2020, XVI, заочный тур, 8 класс, задача 3