11489. Дана равнобокая трапеция ABCD
с основаниями AB
и CD
. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника ABD
лежит на прямой CF
, где F
— проекция точки D
на прямую AB
.
Решение. Пусть M
и N
— середины оснований AB
и CD
соответственно. Тогда FM=DN=\frac{1}{2}CD
, значит, диагонали трапеции CDFM
делят друг друга в отношении 2:1
, считая от точек C
и D
. Таким образом, точка пересечения O
этих диагоналей делит медиану DM
треугольника ABD
в отношении DO:OM=1:2
. Следовательно, точка O
, лежащая на прямой CF
, — точка пересечения медиан треугольника ABD
.
Автор: Бурек Д. (Польша)
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2020, XVI, заочный тур, 8 класс, задача 4