11494. Биссектрисы AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
треугольника ABC
пересекаются в точке I
. Серединный перпендикуляр к отрезку BB_{1}
пересекает прямые AA_{1}
и CC_{1}
в точках A_{0}
и C_{0}
соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников A_{0}IC_{0}
и ABC
касаются.
Решение. Пусть \angle BAC=2\alpha
, \angle ABC=2\beta
, \angle ACB=2\gamma
. Серединный перпендикуляр к BB_{1}
и биссектриса угла A
пересекаются на описанной окружности треугольника ABB_{1}
(см. задачу 1743), поэтому
\angle IBA_{0}=\angle B_{1}BA_{0}=\angle BB_{1}A_{0}=\angle B_{1}AA_{0}=\angle IAB=\alpha.
Аналогично \angle IBC_{0}=\angle ICB=\gamma
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle A_{0}BC_{0}=\alpha+\gamma=\angle IAC+\angle ICA=\angle A_{1}IC,
значит, точки I
, A_{0}
, C_{0}
и B
лежат на одной окружности. Касательная к этой окружности в точке B
образует с прямой BB_{1}
угол, равный половине дуги BA_{0}I
, т. е.
\angle BC_{0}A_{0}+\angle IBA_{0}=\angle BIA_{0}+\alpha=\angle AIB_{1}+\alpha=(\alpha+\beta)+\alpha=2\alpha+\beta.
Пусть биссектриса угла ABC
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке B'
. Тогда касательная к этой окружности в точке B
образует с прямой BB_{1}
угол, равный половине дуги BCB'
, т. е.
\angle BAC+\angle CBB'=2\alpha+\beta.
Следовательно, касательные к этим окружностям в общей точке точке B
совпадают, т. е. окружности касаются в точке B
.