11497. Три стороны четырёхугольника равны, а углы четырёхугольника, образованные этими сторонами, равны 90^{\circ}
и 150^{\circ}
. Найдите два других угла этого четырёхугольника.
Ответ. 45^{\circ}
, 75^{\circ}
.
Решение. Пусть ABCD
— четырёхугольник, у которого AB=BC=CD
, \angle ABC=90^{\circ}
, \angle BCD=150^{\circ}
. Достроим треугольник ABC
до квадрата ABCX
. Тогда
\angle XCD=\angle BCD-\angle BCX=150^{\circ}-90^{\circ}=60^{\circ},
а так как CD=BC=CX
, то треугольник CDX
равносторонний. Тогда DX=CX=AX
, и из равнобедренного треугольника ADX
находим, что
\angle AXD=90^{\circ}+60^{\circ}=150^{\circ},~\angle DAX=\angle ADX=\frac{180^{\circ}-150^{\circ}}{2}=15^{\circ}.
Следовательно,
\angle ADC=\angle CDX-\angle ADX=60^{\circ}-15^{\circ}=45^{\circ},
\angle BAD=90^{\circ}-15^{\circ}=75^{\circ}.