11505. Пусть O
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. На прямой BC
отметим точки A_{1}
и A_{2}
, на прямой AC
— точки B_{1}
и B_{2}
, а на прямой AB
— точки C_{1}
и C_{2}
так, что OA_{1}=OA_{2}=OA
, OB_{1}=OB_{2}=OB
и OC_{1}=OC_{2}=OC
. Докажите, что
A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}=AB+BC+AC.
Решение. Пусть вписанная окружность касается сторон AB
, BC
и AC
треугольника ABC
в точках K
, N
и M
соответственно. Прямоугольные треугольники OMB_{1}
и ONB
равны по гипотенузе и катету, поэтому B_{1}M=BN+BK
. Тогда
B_{1}B_{2}=2B_{1}M=BN+BK.
Аналогично,
A_{1}A_{2}=AK+AM,~C_{1}C_{2}=CM+CN.
Сложив эти три равенства, получим, что
A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}=(AK+AM)+(BN+BK)+(CM+CN)=
=(AK+BK)+(BN+CN)+(AM+CM)=AB+BC+AC.
Автор: Сонкин М. Г.
Источник: Московская областная математическая олимпиада. — 1998-99, 8 класс