11509. В треугольнике ABC
(AB\ne BC
) проведена биссектриса BD
. На прямой BD
отметили такую точку E
, отличную от D
, что CE=CD
. Докажите, что прямая, содержащая среднюю линию треугольника ABC
, параллельную стороне AB
, проходит через середину отрезка DE
.
Решение. Пусть K
— середина основания DE
равнобедренного треугольника CDE
, M
— середина стороны BC
. Тогда KM
— медиана прямоугольного треугольника BKC
, проведённая из вершины прямого угла. Значит,
KM=\frac{1}{2}BC=BM,
т. е. треугольник BMK
равнобедренный. Тогда
\angle BKM=\angle KBM=\angle KBA,
поэтому KM\parallel AB
.
Пусть прямая KM
пересекает сторону AC
в точке N
. По теореме Фалеса точка N
— середина AC
. Следовательно, MN
— средняя линия треугольника ABC
. Отсюда следует утверждение задачи.
Автор: Сонкин М. Г.
Источник: Московская областная математическая олимпиада. — 1999-2000, 8 класс