11515. Даны угол в 60^{\circ}
и угольник, с помощью которого можно проводить прямую через две точки и проводить через точку прямую, перпендикулярную любой из нарисованных прямых. Разделите с помощью угольника данный угол в 60^{\circ}
пополам.
Решение. 1. Через произвольную точку D
, лежащую на одной стороне данного угла с вершиной A
, проведём прямую, перпендикулярную второй стороне угла. Пусть эта прямая пересекает вторую сторону угла в точке B
2. Через ту же точку D
проведём прямую, перпендикулярную лучу AB
. Пусть P
— точка пересечения этой прямой с отрезком AB
.
3. Через точку B
проведём прямую, перпендикулярную BD
, а через точку D
— прямую, перпендикулярную DP
. Пусть проведённые прямые пересекаются в точке K
.
4. Через точку K
проведём прямую, перпендикулярную AD
. Пусть эта прямая пересекает эту луч AD
в точке C
.
5. Через точку A
проведём прямую, перпендикулярную BC
. Пусть эта прямая пересекает отрезок BC
в точке H
. Тогда луч AH
— искомая биссектриса угла BAC
.
Действительно, противоположные стороны четырёхугольника ABKD
попарно параллельны, значит, это параллелограмм, а четырёхугольник BKCD
— прямоугольник. Значит,
\angle BCA=\angle KDC=\angle BAC=60^{\circ},
поэтому треугольник ABC
равносторонний. Следовательно, его высота AH
является биссектрисой.