11516. Точка O
— центр окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD
. Докажите, что если периметры треугольников AOB
, BOC
и COD
равны, то ABCD
— ромб.
Решение. Предположим, что AB\lt BC
. На луче BC
отложим отрезок BA_{1}=BA
. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому треугольники AOB
и A_{1}OB
равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда равны периметры треугольников A_{1}OB
и BOC
, поэтому
A_{1}O=OC+CA_{1},
что возможно только при совпадении точек A_{1}
и C
. Следовательно, AB=BC
.
Аналогично, BC=CD
, а так как суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны, то AD+BC=AB+CD
, откуда получаем, что AD=BC
. Следовательно, AB=BC=CD=AD
. Что и требовалось доказать.