11517. На сторонах AB
и AC
треугольника ABC
взяты соответственно точки M
и N
так, что BM=MN=NC
. Отрезки MM_{1}
и NN_{1}
— биссектрисы треугольника AMN
. Докажите, что M_{1}N_{1}\parallel BC
.
Решение. Треугольник CMN
равнобедренный. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle ANM=\angle CMN+\angle NCM=2\angle NCM,
поэтому
\angle ANN_{1}=\frac{1}{2}\angle ANM=\angle NCM.
Значит, NN_{1}\parallel CM
. Тогда треугольники ANN_{1}
и ACM
подобны по двум углам, поэтому \frac{AN_{1}}{AN}=\frac{AM}{AC}
. Аналогично, треугольник AMM_{1}
подобен треугольнику ABN
, поэтому \frac{AM_{1}}{AN}=\frac{AM}{AB}
. Разделив первое из этих равенств на второе, получим, что \frac{AN_{1}}{AM_{1}}=\frac{AB}{AC}
. Следовательно, M_{1}N_{1}\parallel BC
.