11522. Через точку M
, лежащую вне угла с вершиной A
, проведены две прямые. Одна и них отсекает от сторон угла равные отрезки AB
и AC
, а вторая пересекает лучи AB
и AC
в точках D
и E
соответственно. Докажите, что \frac{BD}{CE}=\frac{MD}{ME}
.
Решение. Учитывая, что AB=AC
, по теореме Менелая для треугольника DAE
и прямой MB
получаем
1=\frac{AC}{CE}\cdot\frac{EM}{MD}\cdot\frac{DB}{BA}=\frac{EM\cdot DB}{CE\cdot MD}~\Rightarrow~\frac{BD}{CE}=\frac{MD}{ME}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1981
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1985, № 3 задача 3 (1984, с. 41), с. 76