11525. На стороне BC
треугольника ABC
выбрана точка F
. Оказалось, что отрезок AF
пересекает медиану BD
в такой точке E
, что AE=BC
. Докажите, что BF=FE
.
Решение. На продолжении медианы BD
за точку E
отложим отрезок DG=BD
. Тогда треугольники ADG
и CDB
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, AG=BC=AE
.
Треугольники AEG
и FEB
подобны, а треугольник AEG
равнобедренный, AG=AE
. Следовательно, треугольник FEB
тоже равнобедренный, BF=FE
.
Автор: Сонкин М. Г.
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 8 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 3.28, с. 26
Источник: Московская областная математическая олимпиада. — 1997-1998, 8 класс