11526. Назовём медианой пятиугольника ABCDE
отрезок, соединяющий его вершину с серединой противолежащей стороны (A
— с серединой CD
, B
— с серединой DE
и т. д.). Докажите, что если каждая медиана выпуклого пятиугольника делит пополам угол, из которого она проведена, и перпендикулярна стороне, к которой она проведена, то пятиугольник правильный.
Решение. Пусть M
— середина стороны CD
. Медиана AM
треугольника ACD
является его высотой, значит треугольник ACD
равнобедренный, AD=AC
. Тогда AM
— биссектриса угла CAD
. Кроме того, по условию AM
— биссектриса угла BEA
, значит,
\angle CAE=\angle EAM+\angle CAM=\angle BAM+\angle DAM=\angle DAB.
Аналогично, рассматривая другие вершины пятиугольника, получаем, что
AC=CE,~CE=BE,~BE=BD,~BD=AD.
Следовательно, все диагонали пятиугольника равны.
Треугольники ACE
и ADB
равны как равнобедренные треугольники с равными боковыми сторонами и равными углами при основаниях (\angle CAE=\angle DAB
), поэтому AE=AB
. Аналогично получаем равенство всех остальных сторон пятиугольника.