1153. Через середину M
отрезка с концами на двух параллельных прямых проведена прямая, пересекающая эти прямые в точках A
и B
. Докажите, что M
также середина AB
.
Указание. Воспользуйтесь признаком равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Решение. Пусть точки A
и P
лежат на прямой a
, а точки B
и Q
— на параллельной ей прямой b
, причём M
— середина отрезка PQ
, а прямая AB
проходит через точку M
. Тогда APM
и BQM
— внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых a
и b
секущей PQ
. Значит, \angle APM=\angle BQM
. Кроме того, \angle AMP=\angle BMQ
как вертикальные углы, а MP=MQ
по условию. Следовательно, треугольники APM
и BQM
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому AM=BM
, т. е. M
— середина отрезка AB
.