11531. Дан выпуклый четырёхугольник ABSC
. На диагонали BC
выбрана такая точка P
, что AP=CP\gt BP
. Точка Q
симметрична точке P
относительно середины диагонали BC
, а точка R
симметрична точке Q
относительно прямой AC
. Оказалось, что \angle SAB=\angle QAC
и \angle SBC=\angle BAC
. Докажите, что SA=SR
.
Решение. Отметим на отрезке AC
такую точку L
, что QL\parallel AP
. Тогда треугольники APC
и LQC
подобны по двум углам, а так как AP=CP
, то LQ=QC=BP
. Кроме того, BQ=PC=AP
и \angle APB=\angle LQB
, поэтому треугольники ABP
и BLQ
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, BA=BL
.
Далее,
\angle ALR=\angle ALQ=180^{\circ}-\angle CLQ=180^{\circ}-\angle ACB=
=\angle CAB+\angle ABC=\angle SBC+\angle ABC=\angle ABS,
\angle BAS=\angle QAC=\angle LAR,
поэтому треугольники ABS
и ALR
подобны по двум углам, откуда \frac{AB}{AL}=\frac{AS}{AR}
. Значит, треугольники ABL
и ASR
подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (\angle SAR=\angle BAC
, поскольку \angle SAB=\angle QAC=\angle RAL)
, но так как AB=BL
, то AS=SR
.