11534. Внутри треугольника ABC
расположена точка P
. На стороне BC
выбрана точка H
, не совпадающая с серединой стороны. Оказалось, что биссектриса угла AHP
перпендикулярна стороне BC
, угол ABC
равен углу HCP
и BP=AC
. Докажите, что BH=AH
.
Решение. Отложим на продолжении отрезка AH
за точку H
отрезок HQ=HP
. Поскольку биссектрисы смежных углов перпендикулярны, прямая BC
является биссектрисой угла PHQ
, смежного с углом AHP
и, значит, серединным перпендикуляром к PQ
. Поэтому
\angle ABC=\angle HCP=\angle HCQ=\angle BCQ,
откуда получаем, что прямые AB\parallel CQ
. При этом прямые AC
и BQ
не параллельны, так как иначе точка H
пересечения диагоналей параллелограмма ABQC
была бы, вопреки условию, серединой отрезка BC
. Кроме того, AC=BP=BQ
, поэтому ABQC
— равнобедренная трапеция. Следовательно, AH=BH
.